Question

已知數列{a_n}中,S_n是它的前n項和且S_n+1=4a_n+1(n∈N^*),設b_n=(n∈N^*),求證:數列{b_n}是一個等差數列.

Answer 1

分析:本題涉及到兩個數列{a_n}、{b_n},而數列{b_n}是依附于{a_n}而派生出來的,因而首先要由已知S_n+1=4a_n+1導出{a_n}的遞推關系式,進而由a_n與b_n的關系得出{b_n}的遞推公式,然后運用遞推公式法證明{b_n}是等差數列.

證明:∵S_n+1=4a_n+1,                                ①

∴S_n+2=4a_n+1+1.                                   ②

②-①得S_n+2-S_n+1=4a_n+1-4a_n.

    而S_n+2-S_n+1=a_n+2,

∴a_n+2=4a_n+1-4a_n.

    由b_n=得a_n=2ⁿb_n,

∴2ⁿ⁺²b_n+2=4·2ⁿ⁺¹b_n+1-4·2ⁿb_n,

    即有b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n.

    因此數列{b_n}是一個等差數列.