Question

已知a是給定的實常數．設函數f（x）=（x-a）²（x+b）e^x，b∈R，x=a是f（x）的一個極大值點．
（1）求b的取值范圍．
（2）設x₁，x₂，x₃是f（x）的3個極值點，問是否存在實數b，可找到x₄∈R，使得x₁，x₂，x₃，x₄的某種排xxi1，xi2，xi3，xi4（其中{i₁，i₂，i₃，i₄}={1，2，3，4}）依次成等差數列？若存在，求所有的b及相應的x₄；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出原函數的導函數，得到導函數f′（x）=e^x（x-a）[x²+（3-a+b）x+2b-ab-a]，而g（x）=x²+（3-a+b）x+2b-ab-a的判別式大于0，函數g（x）有兩個不同的零點，由題意可知，a應在g（x）的兩個零點之間且滿足g（a）＜0，由此可以求解b的取值范圍；
（2）假設存在b及x₄滿足題意，則由（1）對x₁，x₂，x₃，x₄的排列順序分類，分x₂-a=a-x₁時和x₂-a≠a-x₁時進一步討論求解b和x₄的值，由此得到答案．

解答：解：（1）f′（x）=e^x（x-a）[x²+（3-a+b）x+2b-ab-a]，
令g（x）=x²+（3-a+b）x+2b-ab-a，
則△=（3-a+b）²-4（2b-ab-a）=（a+b-1）²+8＞0，
于是可設x₁，x₂是g（x）=0的兩實根，且x₁＜x₂．
①當x₁=a或x₂=a時，則x=a不是f（x）的極值點，此時不合題意．
②當x₁≠a且x₂≠a時，由于x=a是f（x）的極大值點，故x₁＜a＜x₂．即g（a）＜0，
即a²+（3-a+b）a+2b-ab-a＜0．所以b＜-a．所以b的取值范圍是（-∞，-a）；
（2）由（1）可知，假設存在b及x₄滿足題意，則
③當x₂-a=a-x₁時，則x₄=2x₂-a或x₄=2x₁-a，于是2a=x₁+x₂=a-b-3，即b=-a-3．
此時x₄=2x₂-a=a-b-3+

(a+b-1)2+8

-a=a+2

6

，
或x₄=2x₁-a=a-b-3-

(a+b-1)2+8

-a=a-2

6

，
④當x₂-a≠a-x₁時，則x₂-a=2（a-x₁）或a-x₁=2（x₂-a），
（ⅰ）若x₂-a=2（a-x₄），則x₄=

a+x2

2

，于是3a=2x₁+x₂=

3(a-b-3)- (a+b-1)2+8

2

，
即

(a+b-1)2+8

=-3（a+b+3），于是a+b-1=

-9- 13

2

，
此時x₄=

a+x2

2

=

2a+(a-b-3)-3(a+b+3)

4

=-b-3=a+

1+ 13

2

．
（ⅱ）若a-x₁=2（x₂-a），則x₄=

a+x1

2

，
于是3a=2x₂+x₁=

3(a-b-3)+ (a-b-1)2+8

2

，
即

(a-b-1)2+8

=3（a+b+3），于是a+b-1=

-9+ 13

2

．
此時x₂=

a+x1

2

=

2a+(a-b-3)-3(a+b+3)

4

=-b-3=a+

1- 13

2

．
綜上所述，存在b滿足題意．當b=-a-3時，x₄=a±2

6

；
當b=-a-

7+ 13

2

時，x₄=a+

1+ 13

2

；
當b=-a-

7- 13

2

時，x₄=a+

1- 13

2

．

點評：本題考查了函數在某點處取得機制的條件，考查了等差數列的性質，考查了分類討論的數學思想方法，考查了學生的運算能力，是難度較大的題目．