Question

（2012•甘肅一模）（文科）設函數f(x)=-

1

3

x3+2ax2-3a2x+b(0＜a＜1)．
（1）求函數f（x）的單調區間，并求函數f（x）的極大值和極小值；
（2）若當x∈[a+1，a+2]時，不等式|f'（x）|≤a恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，根據0＜a＜1，利用導數的正負可得函數的單調區間，由此可得函數f（x）的極值；
（2）求導函數，確定函數f′（x）在[a+1，a+2]上單調遞減，求出函數的最值，將不等式|f'（x）|≤a恒成立，轉化為不等式組，即可求得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）求導函數可得f′（x）=-（x-3a）（x-a）
∵0＜a＜1，∴由f′（x）＞0可得a＜x＜3a；由f′（x）＞0可得x＜a或x＞3a
∴f（x）的單調遞增區間為（a，3a），單調遞減區間為（-∞，a）和（3a，+∞）
∴函數f（x）的極大值為f（3a）=b，極小值為f（a）=-

4

3

a3+b
（2）求導函數可得f′（x）=-（x-2a）²+a²，
∵0＜a＜1，∴a+1＞2a
∴函數f′（x）在[a+1，a+2]上單調遞減
∴f′（x）_max=f′（a+1）=2a-1，f′（x）_min=f′（a+2）=4a-4
∵不等式|f'（x）|≤a恒成立，
∴

2a-1≤a 4a-4≥-a

∴

4

5

≤a≤1
∵0＜a＜1
∴實數a的取值范圍是[

4

5

，1)．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查不等式恒成立問題，屬于中檔題．