Question

在數列{a_n}．中，如果對任意的n∈N，都有

an+2

an+1

-

an+1

an

=e（e為常數），則稱數列{a_n}為比等差數列，e稱為比公差．現給出下列命題：
①等比數列一定是比等差數列，等差數列不一定是比等差數列；
②如果{a_n}是等差數列，{b_n}是等比數列，那么數列{a_nb_n}是比等差數列：
③斐波那契數列{F_n}不是比等差數列；
④若a_n=2^n-1•（n-1），則數列{a_n}為比等差數列，比公差e=2．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：①根據等比數列的定義可知

an+2

an+1

=

an+1

an

，滿足比等差數列的定義，若等差數列為a_n=n，看其是否滿足；
②如果{a_n}是等差數列，{b_n}是等比數列，設a_n=n，b_n=2ⁿ，看其是否滿足比等差數列的定義；
③斐波那契數列{F_n}，根據斐波那契數列的性質進行化簡變形，看其是否滿足比等差數列的定義；
④若a_n=2^n-1•（n-1），代入

an+2

an+1

-

an+1

an

進行求解看是否是常數，綜合可得答案．

解答：解：①等比數列

an+2

an+1

-

an+1

an

=0，滿足比等差數列的定義，若等差數列為a_n=n，則

an+2

an+1

-

an+1

an

=

-1

n(n+1)

≠常數，故正確；
②如果{a_n}是等差數列，{b_n}是等比數列，設a_n=n，b_n=2ⁿ，則

(n+2)2n+2

(n+1)2n+1

-

(n+1)2n+1

n2n

≠常數，不滿足比等差數列的定義，故不正確；
③斐波那契數列{F_n}，

an+2

an+1

-

an+1

an

=

an+1+an

an+1

-

an+an-1

an

≠常數，不滿足比等差數列的定義，故正確；
④若a_n=2^n-1•（n-1），

an+2

an+1

-

an+1

an

=

-1

n(n-1)

≠常數，不滿足比等差數列的定義，故不正確；
故答案為：①③

點評：本題考查新定義，解題時應正確理解新定義，同時注意利用列舉法判斷命題為假，屬于難題．