Question

（Ⅰ）已知函數.數列滿足：，且,記數列的前項和為，且.求數列的通項公式；并判斷是否仍為數列中的項？若是，請證明；否則，說明理由.

（Ⅱ）設為首項是,公差的等差數列，求證：“數列中任意不同兩項之和仍為數列中的項”的充要條件是“存在整數，使”.

Answer 1

同下

解析:

（Ⅰ）因為，

所以，即，

，即.     ……………………………………（4分）

因為，

當時，，

當時，，

所以.                    …………………………（6分）

又因為，

所以令，則

得到與矛盾，所以不在數列中.    ………（8分）

（Ⅱ）充分性：若存在整數，使.

設為數列中不同的兩項，則

.

又且,所以.

即是數列的第項.                ……………………（11分）

必要性：若數列中任意不同兩項之和仍為數列中的項，

則，，（，為互不相同的正整數）

則，令，

得到 ，

所以，令整數，所以.　     ……（14 分）

下證整數

若設整數則.令，

由題設取使 

即，所以

即與相矛盾，所以.

綜上, 數列中任意不同兩項之和仍為數列中的項的充要條件是存在整數，使.                                              ……………………（16分）