Question

設函數f（x）的定義域為D，若存在非零實數l使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+1）≥f（x），則稱f（x）為M上的高調函數．現給出下列三個命題：
①函數f(x)=(

1

2

)x為R上的l高調函數；
②函數f（x）=sin2x為R上的π高調函數；
③如果定義域是[-1，+∞）的函數f（x）=x²為[-1，+∞）上的m高調函數，那么實數m的取值范圍[2，+∞）；
其中正確的命題是

②③

（填序號）

Answer 1

分析：根據高調函數的定義證明條件f（x+1）≥f（x）是否成立即可．

解答：解：①∵函數f（x）=（

1

2

）^x為R上的遞減函數，故①不正確，
②∵sin2（x+π）≥sin2x
∴函數f（x）=sin2x為R上的π高調函數，故②正確，
③如果定義域為[-1，+∞）的函數f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調函數，則

m＞0 -2m+m2≥0

，解得m≥2，即實數m的取值范圍[2，+∞），∴③正確．
故答案為：②③．

點評：本題主要考查與函數有關的新定義的應用，弄清新定義的本質，找到判斷的標準是解本題的關鍵．