Question

已知f(x)=2sin(x-

π

3

)cos(x-

π

3

)+2

3

cos2(x-

π

3

)-

3

．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值時相應的x的值；
（2）若函數y=f（2x）-a在區間[0，

π

4

]上恰有兩上零點x₁，x₂，求tan（x₁+x₂）的值．

Answer 1

分析：利用三角公式化簡函數f（x）=2sin（2x-

π

3

）
（1）結合正弦函數的性質，把2x-

π

3

看成y=sinx中的“x“分別求解
（2）代入可得y=2sin（4x-

π

3

），換元 t=4x-

π

3

，從而可得 y=2sint，t∈[-

π

3

，

2π

3

]，結合正弦函數的圖象可求

解答：解（1）cos(x-

π

3

)+2

3

cos2(x-

π

3

)-

3

=sin(2x-

2π

3

)+

3

[1+cos(2x-

2π

3

)]-

3

═sin（2x-120°）+

3

cos（2x-120°）=2sin（2x-60°）
（5分）
∴f（x）的最大值為2，此時2x-

π

3

=

π

2

+2kπ，k∈Z，即x=

5π

12

+kπ，k∈Z（7分）
（2）f(2x)=2sin(4x-

π

3

)
令t=4x-

π

3

，∵x∈[0，

π

4

]，∴t∈[-

π

3

，

2π

3

]
設t₁，t₂是函數y=2sint-a的兩個相應零點（即t1=4x1-

π

3

，t2=4x2-

π

3

）
由y=2sint圖象性質知t₁+t₂=π，即4x1-

π

3

+4x2-

π

3

=π（10分）
∴x1+x2=

π

4

+

π

6

，tan(x1+x2)=2+

3

（14分）

點評：本題綜合考查了兩角和與差的三角公式、二倍角公式、三角函數的最值（最值的求解一般是整體思想），利用正弦函數的圖象求解值的問題，體現了函數中的數形結合的數學思想在解題中的運用．