Question

設拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，過F且垂直于x軸的直線與拋物線交于P₁，P₂兩點，已知|P₁P₂|=8．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設m＞0，過點M（m，0）作方向向量為的直線與拋物線C相交于A，B兩點，求使∠AFB為鈍角時實數m的取值范圍；
（3）①對給定的定點M（3，0），過M作直線與拋物線C相交于A，B兩點，問是否存在一條垂直于x軸的直線與以線段AB為直徑的圓始終相切？若存在，請求出這條直線；若不存在，請說明理由．
②對M（m，0）（m＞0），過M作直線與拋物線C相交于A，B兩點，問是否存在一條垂直于x軸的直線與以線段AB為直徑的圓始終相切？（只要求寫出結論，不需用證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據|P₁P₂|=8，可得2p=8，從而可得拋物線C的方程；
（2）直線方程代入y²=8x得一元二次方程，用坐標表示向量，利用∠AFB為鈍角，可得，從而可得不等式，由此可求實數m的取值范圍；
（3）①設過M所作直線方程為y=k（x-3）代入y²=8x，求出|AB|，設存在直線x=x滿足條件，則可得對任意k恒成立，此時直線不存在；②對參數m討論，可得結論．
解答：解：（1）由條件得2p=8，∴拋物線C的方程為y²=8x；…．（4分）
（2）直線方程為代入y²=8x得3x²-（6m+8）x+3m²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F（2，0），則，，
∴．…．（6分）
∵∠AFB為鈍角，∴，∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂＜0，
即，
∴，…．（8分）
因此3m²-36m-4＜0，∴，
又由m＞0，則綜上可得．…．（10分）
（3）①設過M所作直線方程為y=k（x-3）代入y²=8x得ky²-8y-24k=0，…．（11分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，
∴，∴AB中點，…．（12分）
∴．…．（13分）
設存在直線x=x滿足條件，則，…．（14分）
∴對任意k恒成立，
∴無解，∴這樣的直線不存在．  …．（16分）
②當m=2時，存在直線x=-2滿足條件；…．（17分）
當m≠2且m＞0時，直線不存在．      …．（18分）
點評：本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，正確運用韋達定理是關鍵．