Question

（本小題滿分13分）設是定義在上的函數，對任意實數、，都有，且當＜0時，＞1．
（1）證明：①；
②當＞0時，0＜＜1；
③是上的減函數；
（2）設，試解關于的不等式；

Answer 1

（1）略
（2）當2＜，即＞時，不等式的解集為≤≤；
當2=，即=時，≤0，不等式的解集為；
當2＞，即＜時，不等式的解集為≤≤2.

解：（I）證明：（1）在中，令
得即∴或，
若，則當＜0時，有，與題設矛盾，
∴
（2）當＞0時，＜0，由已知得＞1，
又，，
∴  0＜=＜1， 即＞0時，0＜＜1.
（3）任取＜，則，
∵＜0，∴＞1，又由(1)(2)及已知條件知＞0，
∴＞，∴在定義域上為減函數.
（II）=

又，在上單調遞減.
∴原不等式等價于≤0
不等式可化為≤0
當2＜，即＞時，不等式的解集為≤≤；
當2=，即=時，≤0，不等式的解集為；
當2＞，即＜時，不等式的解集為≤≤2.