Question

已知a＞0，函數f（x）=ln（2-x）+ax．
（1）求函數f（x）的單調區間；（2）設曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為l，若l與圓（x+1）²+y²=1相切，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先對函數進行求導，根據導函數大于0原函數單調遞增，導函數小于0原函數單調遞減可得答案．
（2）欲求在點（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率． 最后利用點到直線的距離公式，從而問題解決．

解答：解：（1）解：函數f（x）=ln（2-x）+ax的定義域為（-∞，2）
函數的導函數為y′=

1

x-2

+a，
要求函數的單調遞增區間即是求出y′＞0即可，
y′=

1

x-2

+a＞0，解得x＜2-

1

a

，
可知函數f（x）=ln（2-x）+ax的單調遞增區間為(-∞，2-

1

a

)，
同理得：函數f（x）=ln（2-x）+ax的單調遞減區間(2-

1

a

，2)．
（2）由于f/(x)=

1

x-2

+a，
l的方程為（a-1）x-y+1=0     
由點到直線的距離公式得：a=1．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程、導函數的正負和原函數的增減性的關系．屬基礎題，考查運算求解能力．屬于基礎題．