Question

[1]已知矩陣A=

3 3 c d

，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為α1=

1 1

，屬于特征值1的一個特征向量為α2=

3 -2

．
（1）求矩陣A，并寫出A的逆矩陣；
（2）若向量β=

2 7

，試計算M⁵⁰β．
[2]已知f(x)=

1+x2

是定義在區間[-1，1]上的函數，設x₁，x₂∈[-1，1]且x₁≠x₂．
（1）求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|；
（2）若a²+b²=1，求證：f(a)+f(b)≤

6

．

Answer 1

分析：[1]（1）由矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為α₁=

1 1

可得，c+d=6；由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為α₂=

3 -2

，
可得3c-2d=-2，由此能求出矩陣A和A的逆矩陣．
（2）令β=mα₁+nα₂可解得m=5，n=-1，即β=5α₁-α₂．由此能求出M⁵⁰β．
[2]（1）|f(x1)-f(x2)|=

|x1-x2||x1+x2|

1+x12 + 1+x22

，由此可證明|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|；
（2）f(a)+f(b)=

1+a2

+

1+b2

由此能夠推導出

1+a2

+

1+b2

≤

6

．

解答：解：[1]（1）由矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為α₁=

1 1

可得，

3 3 c d

1 1

=6

1 1

，即c+d=6；（1分）
由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為α₂=

3 -2

，
可得

3 3 c d

3 -2

=

3 -2

，即3c-2d=-2，（2分）
解得

c=2 d=4

即A=

3 3 2 4

，（3分）
A逆矩陣是

2 3 - 1 2 - 1 3 1 2

．（5分）
（2）令β=mα₁+nα₂可解得m=5，n=-1，即β=5α₁-α₂．（7分）
所以M⁵⁰β=M⁵⁰（5α₁-α₂）
=5（M⁵⁰α₁）-（M⁵⁰α₂）
=5（λ₁⁵⁰α₁）-（λ₂⁵⁰α₂）
=5•650

1 1

-150

3 -2

•=

5•650-3 5•650+2

．（10分）
（選修4-5：不等式選講）
證：[2]（1）|f(x1)-f(x2)|=

|x1-x2||x1+x2|

1+x12 + 1+x22

∵|x₁+x₂|≤|x₁|+|x₂|，

1+ x 2 1

+

1+ x 2 2

＞|x1|+|x2|，
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|．（5分）
（2）f(a)+f(b)=

1+a2

+

1+b2

，
∵[(

1+a2

)2+(

1+b2

)2](12+12)≥(

1+a2

+

1+b2

)2a²+b²=1，
∴

1+a2

+

1+b2

≤

6

．（10分）

點評：本題考查二階行列式的性質和應用，解題時要認真審題，仔細求解，注意公式的靈活運用．