Question

（理）已知函數f(x)=

sinπx x∈[0，1] log2011x x∈(1，+∞)

若滿足地f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），則a+b+c的取值范圍是

 

．
（文）在平面直角坐標系xOy中，設

OM

=(1，

1

2

)，

ON

=(0，1)，動點P（x，y）同時滿足

0≤ OP • OM ≤1 0≤ OP • ON ≤1

則z=x+y的最大值是

 

．

Answer 1

分析：（理）畫出函數f（x）=f(x)=

sinπx x∈[0，1] log2011x x∈(1，+∞)

的圖象，根據f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，結合圖象求出a+b+c的范圍即可．
（文）利用向量的數量積求出x，y的約束條件，畫出可行域，將目標函數變形得到z的幾何意義，畫出目標函數對應的直線，數形結合求出最值．

解答：解：（理）作出函數f（x）的圖象如圖，
不妨設a＜b＜c，則a+b=1，c∈（1，2011）
a+b+c=1+c∈（2，2012）
故答案為：（2，2012）．
（文）：

OP

•

OM

=x+

1

2

y，

OP

•

ON

=y
據題意得

0≤x+ 1 2 y≤1 0≤y≤1

畫出可行域
將z=x+y變形為y=-x+z畫出相應的直線，將直線平移至可行域中的點（

1

2

，1）時，縱截距最大，z最大將（

1

2

，1）代入z=x+y得到z的最大值

3

2

故答案為

3

2

點評：（1）本小題主要考查分段函數、對數的運算性質以及利用數形結合解決問題的能力．解答的關鍵是圖象法的應用，即利用函數的圖象交點研究方程的根的問題．
（2）本題考查向量的數量積公式、畫出不等式組的可行域、給目標函數賦予幾何意義、數形結合求最值．