Question

已知關于x的方程-x²+2x=|a-1|在x∈(

1

2

，2]上恒有實數根，則實數a的取值范圍是

[0，2]

．

Answer 1

分析：由題意可得，函數f（x）=-x²+2x的圖象和直線y=|a-1|的圖象在x∈(

1

2

，2]上恒有交點，數形結合可得|a-1|≤1，從而求得a的范圍．

解答：解：由于函數f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1≤1，故函數f（x）的值域為（-∞，1]．
根據已知關于x的方程-x²+2x=|a-1|在x∈(

1

2

，2]上恒有實數根，
的圖象和直線y=|a-1|的圖象在x∈(

1

2

，2]上恒有交點，如圖所示：
故有|a-1|≤1，即-1≤a-1≤1，解得 0≤a≤2，
故答案為[0，2]．

點評：本題主要考查函數的零點與方程的根的關系，體現了數形結合、轉化的數學思想，屬于中檔題．