Question

（2013•延慶縣一模）設縣x，y滿足約束條件

x+y≥1 x-2y≥-2 3x-2y≤3

，若z=x²+4y²，則z的取值范圍是

[

4

5

，

53

2

]

．

Answer 1

分析：先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=x²+4y²表示中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓，研究當長軸變化時，z的變化情況即可求得z的取值范圍．

解答：解：根據約束條件畫出可行域
z=x²+4y²表示中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓，如圖．
當此橢圓與直線x+y=1相切時，z=x²+4y²最小，
由

z=x2+4y2 x+y=1

消去x得：5y²-2y+1-z=0，
△=0得z=

4

5

，即最小距離為

4

5

，
當此橢圓過點A（

5

2

，

9

4

）時，z=x²+4y²最大，最大為z=（

5

2

）²+4（

9

4

）²=

53

2

．
故答案為：[

4

5

，

53

2

]．

點評：本題主要考查了簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．