Question

某班級舉行一次知識競賽，活動分為初賽和決賽，現(xiàn)將初賽成績（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計，制成如下頻率分布表．

分組（分?jǐn)?shù)段）	頻數(shù)（人數(shù)）	頻率
（60，70）	______	0.16
（70，80）	22	______
（80，90）	14	0.28
（90，100）	______	______
合計	50	______

（1）填充頻率分布表中的空格（直接寫出對應(yīng)空格序號的答案，不必寫過程）；
（2）決賽規(guī)則如下：參加決賽的同學(xué)依次回答主持人的4道題，答對2道就終止答題，并獲得一等獎；如果前三道題都答錯，就不再回答第四題．某同學(xué)甲現(xiàn)已進(jìn)入決賽（初賽80分以上，不含80分），每題答對的概率P的值恰好等于頻率分布表中80分以上的頻率值．
①求該同學(xué)答完3道題而獲得一等獎的概率；
②記該同學(xué)決賽中答題的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)樣本容量，頻率和頻數(shù)之間的關(guān)系得到要求的幾個數(shù)據(jù)；
（2）①該同學(xué)恰好答滿3道題而獲得一等獎，即前2道題中剛好答對1道，第3道也能夠答對才獲得一等獎，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式得到結(jié)果．
②答對2道題就終止答題，并獲得一等獎，所以該同學(xué)答題個數(shù)為2、3、4，結(jié)合變量對應(yīng)的概率，寫出分布列和期望．
解答：解：（1）由題意，根據(jù)樣本容量，頻率和頻數(shù)之間的關(guān)系得到①0.16×50=8；②=0.44；③50-8-22-14=6④=0.12；⑤合計頻率為1；
（2）由（1）得，P=0.28+0.12=0.4，
①該同學(xué)恰好答滿3道題而獲得一等獎，即前2道題中剛好答對1道，第3道也能夠答對才獲得一等獎，
則有C₂¹×0.4×0.6×0.4=0.192；
②答對2道題就終止答題，并獲得一等獎，
∴該同學(xué)答題個數(shù)為2、3、4，即ξ=2、3、4，
P（ξ=2）=0.4²=0.16，
P（ξ=3）=C₂¹0.4×0.6×0.4+0.6³=0.408，
P（ξ=4）=C₃¹0.4×0.6²=0.432，
∴ξ的分布列為：

ξ	2	3	4
P	0.16	0.408	0.432

點(diǎn)評：本題考查頻率、頻數(shù)和樣本容量之間的關(guān)系，考查離散型隨機(jī)變量的隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，是一個綜合題．