Question

數(shù)列的各項均為正數(shù)，為其前項和，對于任意，總有成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式； 
（2）設數(shù)列的前項和為，且，求證：對任意實數(shù)是常數(shù)，和任意正整數(shù)，總有
（3）正數(shù)數(shù)列中，求數(shù)列中的最大項．

Answer 1

（1）（2）略（3）

（1）由已知，對于任意，總有  ①成立
所以 ②…………（1分）
①-②得，

均為正數(shù)，
數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列…………（3分）
又時，，解得
…………（5分）
（2）證明：對任意實數(shù)是常數(shù)，和任意正整數(shù)，總有
，…………（6分）

…………（9分）
（3）由已知

易得
猜想時，是遞減數(shù)列…………（10分）
令
則，當時，則，
在內(nèi)，為單調(diào)遞減函數(shù)，…………（12分）
由知
時，是遞減數(shù)列，即是遞減數(shù)列，…………（１3分）
又數(shù)列中的最大項為．…………（１4分）