Question

（本題滿(mǎn)分12分，每一問(wèn)6分）

 如圖，弧是半徑為的半圓，為直徑，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)為線(xiàn)段的三等分點(diǎn)，線(xiàn)段與弧交于點(diǎn)，且，平面外一點(diǎn)滿(mǎn)足平面,。

⑴證明：；

⑵ 將（及其內(nèi)部）繞所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周形成一幾何體，求該幾何體的體積。

 

Answer 1

【答案】

⑴ 證明： 見(jiàn)解析；⑵。

【解析】本試題主要是考查了圓內(nèi)幾何性質(zhì)，以及線(xiàn)面垂直的判定定理，以及關(guān)于圓錐的體積的運(yùn)算的綜合運(yùn)用。

（1）由于為直徑，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，，即又平面,平面，，進(jìn)而得到線(xiàn)面垂直，利用性質(zhì)定理得到線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明。

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，利用兩點(diǎn)的距離公式得到高的長(zhǎng)度，然后求解椎體的體積公式即可。

⑴ 證明： 為直徑，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，

 ，即。………2分

 又平面,平面，

，

由平面，……4分

又平面，

。…………………………………………………………………………6分

⑵ 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，……………………………………7分

設(shè) 則由，得

，……………………………………………………………………9分

則，由題設(shè)知，所得幾何體為圓錐，其底面積為 ，高為。…………………………………………………11分

所以該圓錐的體積為。………………………………12分