Question

已知函數(shù)，

（1）判斷函數(shù)的奇偶性；  （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若關(guān)于的方程有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）為偶函數(shù)

（2）的遞增區(qū)間是和；遞減區(qū)間是和．

（3）（－∞，－1]∪[1，＋∞）

【解析】本試題主要考查而來函數(shù)的奇偶性和周期性和單調(diào)性以及方程的解的綜合運用。

（1）函數(shù)f(x)的定義域為 ,然后利用定義判定

∴f(x)為偶函數(shù) 

（2）當x>0時，求解導函數(shù)，討論得到單調(diào)區(qū)間，進而的分析最值

（3））利用由f(x)=kx-1， 構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)得到結(jié)論。

解：（1）函數(shù)的定義域為{且}

      ∴為偶函數(shù)  

（2）當時， 

若，則，遞減；  

若，   則，遞增．

再由是偶函數(shù)，

得的遞增區(qū)間是和；

遞減區(qū)間是和．

（3）由，得：     令

當，     顯然

時，，      時，，

∴時，  

又，為奇函數(shù)    ∴時，

∴的值域為（－∞，－1]∪[1，＋∞）

∴若方程有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（－∞，－1]∪[1，＋∞）．