Question

下列四個命題；
①直線x•cosθ-y+1=0（θ∈R）的傾斜角的取值范圍為[

π

4

，

3π

4

]；
②直線l₁：a₁x+b₁y+c₁=0（a₁²+b₁²≠0）與直線l₂：a₂x+b₂y+c₂=0（a₂²+b₂²≠0），則|

a1 a2 b1 b2

|=0是直線l₁、l₂平行的必要不充分條件；
③圓C：x²+y²=r²及點P（x₀，y₀），若過點P作圓C的兩條切線分別交圓C于A、B兩點，則過AB的直線方程為xx₀+yy₀=r²；
④方程

x2

t-1

+

y2

1-t

=1不可能表示圓；
其中正確命題的序號為

②③④

．

Answer 1

分析：①利用直線的斜率和傾斜角的關系判定．②利用行列式的運算和直線平行的等價條件進行判斷．③利用直線和圓相切的等價條件進行判斷．④利用方程的特點確定方程對應的軌跡方程．

解答：解：①因為直線的標準方程為y=xcosθ+1，所以直線的斜率k=cosθ，所以-1≤k≤1，由-1≤tanα≤1，解得0≤α≤

π

4

或

3π

4

≤α＜π，所以①錯誤．
②由|

a1 a2 b1 b2

|=0得a₁b₂-a₂b₁=0，直線l₁、l₂平行，則必有a₁b₂-a₂b₁=0．若a₁b₂-a₂b₁=0時，不妨設c₁=c₂=0，此時兩直線重合，所以|

a1 a2 b1 b2

|=0是直線l₁、l₂平行的必要不充分條件，所以②正確．
③由題意可得OP²=x₀²+y₀²，所以以OP的中點為圓心，以OP為直徑的圓的方程為：（x-

x0

2

）²+（y-

y0

2

）²=

1

4

OP²
即：（x-

x0

2

）²+（y-

y0

2

）²=

1

4

（x₀²+y₀²）…①x²+y²=r²…②，直線AB的方程就是兩個圓的公共弦的方程，
所以①-②得x₀x+y₀y=r²，所以③正確．
④若方程表示圓，則有

t-1＞0 1-t＞0 t-1=1-t

，即

t＞1 t＜1 t=1

，不等式組無解，所以方程不可能表示圓，所以④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題主要考查各種命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強．