Question

三棱柱ABC－A₁B₁C₁在如圖所示的空間直角坐標系中，已知AB＝2，AC＝4，A₁A＝3.D是BC的中點．

(1)求直線DB₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值；
(2)求二面角B_1-A₁D-C₁的正弦值．

Answer 1

（1）（2）

(1)由題意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A₁(0，0，3)，B₁(2，0，3)，C₁(0，4，3).＝(1，2，－3)，＝(0，4，0).
設(shè)平面A₁C₁D的一個法向量為n＝(x，y，z)．
∵n·＝x＋2y－3z＝0，n·＝4y＝0.
∴x＝3z，y＝0.令z＝1，得x＝3.n＝(3，0，1)．
設(shè)直線DB₁與平面A₁C₁D所成角為θ，
∵＝(1，－2，3)，
∴sinθ＝|cos〈·n〉|＝＝.
(2)設(shè)平面A₁B₁D的一個法向量為m＝(a，b，c)．
＝(2，0，0)，∵m·＝a＋2b－3c＝0，m·＝2a＝0，
∴a＝0，2b＝3c.令c＝2，得b＝3.m＝(0，3，2)．
設(shè)二面角B₁A₁DC₁的大小為α，
∴|cosα|＝cos|〈m，n〉|＝，則sinα＝＝.
∴二面角B₁A₁DC₁的正弦值為.