Question

已知

a

=(1，0)，

b

=(-

3

2

，-

1

2

)，

c

=(

3

2

，-

1

2

)，x

a

+y

b

+z

c

=(1，1)，則x²+y²+z²最小值為

12

5

．

Answer 1

分析：根據向量線性運算的坐標表示，算出

x= 3 y+1+ 3 z=-2-y

，由此將x²+y²+z²轉化成關于y的二次函數，結合二次函數的性質即可求出x²+y²+z²的最小值．

解答：解：∵

a

=(1，0)，

b

=(-

3

2

，-

1

2

)，

c

=(

3

2

，-

1

2

)，x

a

+y

b

+z

c

=(1，1)，
∴

x- 3 2 y+ 3 2 z=1 - 1 2 y- 1 2 z=1

，可解出

x= 3 y+1+ 3 z=-2-y

因此，x²+y²+z²=（

3

y+1+

3

）²+y²+（-2-y）²=5y²+（10+2

3

）y+8+2

3

根據二次函數的性質，得當y=-

10+2 3

10

=-1-

3

5

時，
x²+y²+z²取得最小值，最小值為

12

5

此時x=

2

5

，y=-1-

3

5

，z=-1+

3

5

故答案為：

12

5

點評：本題給出向量的坐標和向量等式，求系數平方和的最小值，著重考查了向量線性運算的坐標表示、三元一次方程組的處理和二次函數的最值求法等知識，屬于中檔題．