Question

已知圓C：(x+

3

)2+y2=16，點A(

3

，0)，Q是圓上一動點，AQ的垂直平分線交CQ于點M，設點M的軌跡為E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）設P為直線x=4上不同于點（4，0）的任意一點，D，F分別為曲線E與x軸的左，右兩交點，若直線DP與曲線E相交于異于D的點N，證明△NPF為鈍角三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據橢圓的定義，確定軌跡E是以A，C為焦點，長軸長為4的橢圓，再寫出橢圓的方程；
（Ⅱ）直線DP的方程與橢圓方程聯立，確定N的坐標，求出

FN

，

FP

，利用其數量積小于0，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）由題意得|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4＞2

3

∴軌跡E是以A，C為焦點，長軸長為4的橢圓…（2分）
∴軌跡E的方程為

x2

4

+y2=1…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知D（-2，0），F（2，0），設P（4，t）（t≠0），N（x_N，y_N）
則直線DP的方程為y=

t

6

(x+2)…（6分）
由

y= t 6 (x+2) x2+4y2=4

得（9+t²）x²+4t²x+4t²-36=0
∵直線DP與橢圓相交于異于D的點N
∴-2+xN=

-4t2

9+t2

，∴xN=

-2t2+18

9+t2

由yN=

t

6

(xN+2)得yN=

6t

9+t2

…（8分）
∴

FN

=(-

4t2

9+t2

，

6t

9+t2

)，

FP

=(2，t)
∴

FN

•

FP

=-

8t2

9+t2

+

6t2

9+t2

=

-2t2

9+t2

＜0…（10分）
又N，F，P三點不共線，∴∠NFP為鈍角，
∴△NFP為鈍角三角形…（12分）

點評：本題考查橢圓的定義，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．