Question

已知函數．定義函數f（x）與實數m的一種符號運算為m?f（x）=f（x）•[f（x+m）-f（x）]．
（1）求使函數值f（x）大于0的x的取值范圍；
（2）若，求g（x）在區間[0，4]上的最大值與最小值；
（3）是否存在一個數列{a_n}，使得其前n項和．若存在，求出其通項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由f（x）＞0，得，
即2x²-12x-3＞0，解得或．
所以，x的取值范圍為 ．
（2）====．
對g（x）求導，得g'（x）=6x²-21x+9=3（x-3）（2x-1）．
令g'（x）=0，解得或x=3．
當x變化時，g'（x）、g（x）的變化情況如下表：

x	0				3	（3，4）	4
g'（x）		+	0	-	0	+
g（x）	3	↗		↘		↗	-1

所以，g（x）在區間[0，4]上的最大值為，最小值為．
（3）存在．
由（2）得=．
當n≥2時，=
當n=1時，．
所以，．

分析：（1）函數值f（x）大于0的x的取值范圍通過解不等式函數＞0求出即可．
（2）根據題設中的定義，將g（x）計算化簡并整理，應得出g（x）=，再利用導數求出g（x）在區間[0，4]上的最大值與最小值
（3）由（2）得=，轉化為利用數列中a_n與 Sn關系求數列通項．
點評：本題考查了一元二次不等式解法、利用導數研究最大（�。┲担�以及利用數列中a_n與 Sn關系求數列通項．考查轉化、變形、計算能力．