Question

等差數列{a_n}中首項為a₁，公差為d（0＜d＜2π），{cosa_n}成等比數列，則公比q=

-1

．

Answer 1

分析：根據等比數列的性質可知

cos(a1+nd)

cos[a1+(n-1)d]

=

cos(a1+d)

cosa1

，進而由積化和差和和差化積化簡得出sind=0，由公差的范圍即可得出公差d，從而求出公比q的值．

解答：解：a_n=a₁+（n-1）d，
數列{cosa_n}成等比數列，
?

cos(a1+nd)

cos[a1+(n-1)d]

=

cos(a1+d)

cosa1

①
∴2cosa₁cos（a₁+nd）=2cos（a₁+d）cos[a₁+（n-1）d]，
積化和差得cos（2a₁+nd）+cosnd=cos（2a₁+nd）+cos（n-2）d，
∴cos（n-2）d-cosnd=0，
和差化積得2sin[（n-1）d]sind=0，對任意的正整數n都成立，
∴sind=0，0＜d＜2π，
∴d=π．
由①，公比q=-1．
故答案為：-1

點評：此題考查了等差數列的通項公式和等比數列的性質的性質，此題有一定的難度．