Question

（本題滿分12分）

已知二次函數和一次函數，其中、、滿足

(1) 求證:兩函數的圖象交于不同的兩點A、B；

(2) 求證:方程的兩根都小于2；

(3)由 (1)知兩函數的圖象交于不同的兩點A、B，求線段AB在x軸上的射影A₁B₁的長的取值范圍。

Answer 1

(1)證明由消去y得ax²+2bx+c=0

Δ=4b²－4ac=4(－a－c)²－4ac=4(a²+ac+c²)

∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0

∴Δ>0,即兩函數的圖象交于不同的兩點     …………………………4分

  （2）由 (1)知方程有兩根，  即

令

函數的圖象的對稱軸為

所以方程的兩根均小于2 ，即的兩根均小于2。………8分

 (3)解設方程ax²+bx+c=0的兩根為和,則

|A₁B₁|²=(x₁－x₂)²=(x₁+x₂)²－4x₁x₂

 

∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0     ∴a>－a－c>c,解得

∵的對稱軸方程是，  時，為減函數

∴|A₁B₁|²∈(3,12),故|A₁B₁|∈()…………………………12分