Question

已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個交點的橫坐標為8.

(1)求拋物線C的方程；

(2)不過原點的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點A、B，若線段AB的中點為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積．

 

Answer 1

（1）y2＝8x.（2）24

【解析】(1)易知直線與拋物線的交點坐標為(8，－8)，∴82＝2p×8，∴2p＝8，∴拋物線方程為y2＝8x.

(2)直線l2與l1垂直，

故可設l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點為M.

由得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m＞0，∴m＞－2.

y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2.

由題意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍)，

∴l2：x＝y＋8，M(8,0)，

故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝|FM|·|y1－y2|＝3＝24.?