Question

已知函數fn(x)=x2+x+

1

2

的定義域是[n，n+1]（n是自然數），那么f₁（x）的值域中共有

4

個整數；f_n（x）的值域中共有

2n+2

個整數．

Answer 1

分析：由題意f₁（x）的定義域是[1，2]，利用二次函數的性質可得f₁（x）在[1，2]上為增函數，求出f（1）和f（2）的值，可得f₁（x）的值域中共4個整數；算出f_n（n）=n2+n+

1

2

且f（n+1）=n2+3n+

5

2

，根據f_n（x）在[n，n+1]上是增函數并利用等差數列的性質，可得f_n（x）的值域中整數的個數．

解答：解：∵函數fn(x)=x2+x+

1

2

的定義域是[n，n+1]，
∴f₁（x）的定義域是[1，2]，
∵y=x2+x+

1

2

的圖象是開口向上的拋物線，關于直線x=-

1

2

對稱，
∴f₁（x）在區間[1，2]上為增函數，得函數f₁（x）的值域為[f（1），f（2）]
又∵f（1）=

5

2

，f（2）=

13

2

，．
∴f₁（x）的值域為[

5

2

，

13

2

]，其中含有3、4、5、6，共4個整數；
∵fn(x)=x2+x+

1

2

的定義域是[n，n+1]，且函數f_n（x）在[n，n+1]上是增函數，
∴函數f_n（x）的值域為[f（n），f（n+1）]，
∵f_n（n）=n2+n+

1

2

，f（n+1）=(n+1)2+(n+1)+

1

2

=n2+3n+

5

2

，
∴函數f_n（x）的值域為[n2+n+

1

2

，n2+3n+

5

2

]，
其中的整數n²+n+1、n²+n+2、…、n²+3n+2，
一共（n²+3n+2）-（n²+n+1）+1=2n+2個整數．
故答案為：4，2n+2

點評：本題給出二次函數的定義域，求它的值域中整數的個數．著重考查了二次函數的圖象與性質、函數值域的求法和等差數列的性質等知識，屬于中檔題．