Question

（2013•青島一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距為2

3

，離心率為

2

2

，其右焦點為F，過點B（0，b）作直線交橢圓于另一點A．
（Ⅰ）若

AB

•

BF

=-6，求△ABF外接圓的方程；
（Ⅱ）若過點M（2，0）的直線與橢圓N：

x2

a2

+

y2

b2

=

1

3

相交于兩點G、H，設P為N上一點，且滿足

OG

+

OH

=t

OP

（O為坐標原點），當|

PG

-

PH

|＜

2 5

3

時，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓的簡單性質求得它的標準方程，設A（x₀，y₀），由

AB

•

BF

=-6，求得A的坐標，由此求得三角形外接圓的半徑，即可求得外接圓的方程．
（Ⅱ）由題意可知直線GH的斜率存在，把GH的方程代入橢圓，由判別式大于零求得k2＜

1

2

（*）．再由 |

PG

-

PH

|＜

2 5

3

，求得k2＞

1

4

，結合（*）得

1

4

＜k2＜

1

2

．根據

OG

+

OH

=t

OP

，即（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），結合點P在橢圓上可得16k²=t²（1+2k²），從而求得實數t的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意知：c=

3

，e=

c

a

=

2

2

，又a²-b²=c²，
解得：a=

6

，b=

3

，∴橢圓C的方程為：

x2

6

+

y2

3

=1．…（2分）
可得：B(0，

3

)，F(

3

，0)，設A（x₀，y₀），則

AB

=(-x0，

3

-y0)，

BF

=(

3

，-

3

)，
∵

AB

•

BF

=-6，∴-

3

x0-

3

(

3

-y0)=-6，即y0=x0-

3

．
由

x02 6 + y02 3 =1 y0=x0- 3

⇒

x0=0 y0=- 3

，或

x0= 4 3 3 y0= 3 3

，
即A(0，-

3

)，或A(

4 3

3

，

3

3

)…（4分）
①當A的坐標為(0，-

3

)時，|OA|=|OB|=|OF|=

3

，
∴△ABF外接圓是以O為圓心，

3

為半徑的圓，即x²+y²=3．…（5分）
②當A的坐標為(

4 3

3

，

3

3

)時，k_AF=1，k_BF=-1，所以△ABF為直角三角形，其外接圓是以線段AB為直徑的圓，
圓心坐標為(

2 3

3

，

2 3

3

)，半徑為

1

2

|AB|=

15

3

，
∴△ABF外接圓的方程為(x-

2 3

3

)2+(y-

2 3

3

)2=

5

3

．
綜上可知：△ABF外接圓方程是x²+y²=3，或(x-

2 3

3

)2+(y-

2 3

3

)2=

5

3

．…（7分）
（Ⅱ）由以上可得，橢圓N：即

x2

6

+

y2

3

=

1

3

，即

x2

2

+y2 =1．
由題意可知直線GH的斜率存在，設GH：y=k（x-2），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），P（x，y），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
由△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0得：k2＜

1

2

（*）． …（9分）
由于 x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

，∵|

PG

-

PH

|＜

2 5

3

，
∴|

HG

|＜

2 5

3

，即

1+k2

|x1-x2|＜

2 5

3

，∴(1+k2)[

64k4

(1+2k2)2

-4×

8k2-2

1+2k2

]＜

20

9

，
∴k2＞

1

4

，再結合（*）得：

1

4

＜k2＜

1

2

．…（11分）
∵

OG

+

OH

=t

OP

，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y）
從而x=

x1+x2

t

=

8k2

t(1+2k2)

，y=

y1+y2

t

=

1

t

[k(x1+x2)-4k]=

-4k

t(1+2k2)

．
∵點P在橢圓上，∴[

8k2

t(1+2k2)

]2+2[

-4k

t(1+2k2)

]2=2，整理得：16k²=t²（1+2k²），
即t2=8-

8

1+2k2

，∴-2＜t＜-

2 6

3

，或

2 6

3

＜t＜2，
即實數t的取值范圍為 （-2，-

2 6

3

∪（

2 6

3

，2）．…（13分）

點評：本題主要考查橢圓的標準方程和簡單性質，求圓的標準方程得方法，直線和圓的位置關系，兩個向量的數量積的運算，屬于中檔題．