Question

已知函數g(x)=alnx+

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x2-x-1和h（x）=1-ax，其中a≤1且a≠0，設f（x）=g（x）+h（x）．
（Ⅰ）若a=1，求g（x）在（1，g（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）=0恰有一解，求實數a的取值情況．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=1時，確定切點的坐標，求得切線斜率，利用點斜式，即可得到切線方程；
（Ⅱ） 求導函數，再分類討論：（i）a＜0，可得函數在（0，1）上f′（x）＜0且在（1，+∞）上f′（x）＞0，從而可得f（x）在x=1處取得極小值，由f（x）=0恰有1解，可得f（1）=0，從而可求a的值；
（ii）當0＜a＜1時，確定函數的單調性，可得函數的極值，從而可得0＜a＜1滿足f（x）=0恰有一解成立；
（iii）當a=1時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，且f（1）＜0，f（4）＞0，滿足條件．

解答：解：（Ⅰ）a=1時，g(x)=lnx+

1

2

x2-x-1，g(1)=ln1+

1

2

-1-1=-

3

2

g′(x)=

1

x

+x-1
所以g（x）在(1，-

3

2

)處的切線斜率k=g′(x)|x=1=(

1

x

+x-1)|x=1=1
則過(1，-

3

2

)的切線方程為y+

3

2

=x-1，即所求切線方程為y=x-

5

2

…（4分）
（Ⅱ）f(x)=g(x)+h(x)=alnx+

1

2

x2-x-1+1-ax=alnx+

1

2

x2-(a+1)x，f（x）定義域為（0，+∞）
所以f′(x)=

a

x

+x-(a+1)=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

…（6分）
（i）若a＜0，令f′（x）=0，可得x=1
因為在（0，1）上f′（x）＜0且在（1，+∞）上f′（x）＞0
所以f（x）在x=1處取得極小值
即y極小值=f(1)=-a-

1

2

由f（x）=0恰有1解，則f（1）=0，即-a-

1

2

=0，解得a=-

1

2

…（8分）
（ii）當0＜a＜1時，x，f′（x），f（x）在（0，+∞）的變化情況如下表：

x	（0，a）	a	（a，1）	1	（1，+∞）
y′	+	0	-	0	+
y	↗	極大值	↘	極小值	↗

由上表可知，f（x）在x=1處取得極小值f極小值(x)=f(1)=

1

2

-(a+1)=-

1

2

-a＜0
由上表得f（x）在x=a處取得極大值f極大值(x)=f(a)=alna+

1

2

a2-(a+1)a=alna-

1

2

a2-a＜0
所以0＜a＜1滿足f（x）=0恰有一解成立
即0＜a＜1滿足條件…（10分）
（iii）當a=1時，f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，且f（1）＜0，f（4）＞0
所以，a=1滿足條件…（11分）
綜上，若f（x）=0恰有一解，實數a的取值范圍是0＜a≤1或a=-

1

2

…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數與方程思想，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．