Question

(本小題滿分14分)

如圖，在六面體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形A₁B₁C₁D₁是邊長(zhǎng)為1的正方形，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，DD₁⊥平面ABCD，DD₁＝2.

（Ⅰ）求證：A₁C₁與AC共面，B₁D₁與BD共面；

（Ⅱ）求證：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁；

（Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函數(shù)值表示）.

              

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）A₁C₁與AC共面，B₁D₁與BD共面

（Ⅱ）平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁

（Ⅲ）二面角的大小為

【解析】解法1（向量法）：

以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

則有．

 

（Ⅰ）證明：

．

．

與平行，與平行，

于是與共面，與共面．

（Ⅱ）證明：，

，

，．

與是平面內(nèi)的兩條相交直線．

平面．

又平面過(guò)．

平面平面．

（Ⅲ）解：．

設(shè)為平面的法向量，

，．

于是，取，則，．

設(shè)為平面的法向量，

，．

于是，取，則，．

．

二面角的大小為．

解法2（綜合法）：

（Ⅰ）證明：平面，平面．

，，平面平面．

于是，．

設(shè)分別為的中點(diǎn)，連結(jié)，

有．

，

于是．

由，得，

故，與共面．

過(guò)點(diǎn)作平面于點(diǎn)，

則，連結(jié)，

于是，，．

，．

，．

所以點(diǎn)在上，故與共面．

（Ⅱ）證明：平面，，

又（正方形的對(duì)角線互相垂直），

與是平面內(nèi)的兩條相交直線，

平面．

又平面過(guò)，平面平面．

（Ⅲ）解：直線是直線在平面上的射影，，

根據(jù)三垂線定理，有．

過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作于，連結(jié)，

則平面，

于是，

所以，是二面角的一個(gè)平面角．

根據(jù)勾股定理，有．

，有，，，．

，，

二面角的大小為．