Question

已知函數f（x）的定義域關于原點對稱，且滿足以下三個條件：
①x₁、x₂、x₁-x₂是定義域中的數時，有f(x1-x2)=

f(x1)f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

；
②f（a）=-1（a＞0，a是定義域中的一個數）；
③當0＜x＜2a時，f（x）＜0．
（1）判斷f（x₁-x₂）與f（x₂-x₁）之間的關系，并推斷函數f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數f（x）在（0，2a）上的單調性，并證明；
（3）當函數f（x）的定義域為（-4a，0）∪（0，4a）時，
 ①求f（2a）的值；②求不等式f（x-4）＜0的解集．

Answer 1

分析：（1）將x₁-x₂和x₂-x₁分別代入抽象表達式①，即可判斷f（x₁-x₂）與f（x₂-x₁）之間互為相反數，并推斷函數f（x）為奇函數
（2）利用已知條件③和函數單調性定義，即可證明函數f（x）在（0，2a）上為單調增函數
（3）①令x₁=a，x₂=-a，代入抽象表達式結合f（a）=-1即可得f（2a）的值；②先證明函數f（x）關于點（2a，0）對稱，進而判斷函數f（x）在（-4a，0）和（0，4a）上的單調性，最后利用單調性解不等式即可

解答：解：（1）不妨令x=x₁-x₂，則f(-x)=f(x2-x1)=

f(x2)f(x1)+1

f(x1)-f(x2)

=-

f(x1)f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

=-f（x₁-x₂）=-f（x），
∴f（x）是奇函數；
（2）在（0，2a）上任取兩個實數x₁、x₂，
且x₁＜x₂，則有f(x1)-f(x2)=

f(x2)f(x1)+1

f(x2-x1)

，
∵0＜x＜2a時，f（x）＜0，
∴f（x₂）＜0且f（x₁）＜0，
故f（x₂）f（x₁）＞0，
即f（x₂）f（x₁）+1＞0；
∵0＜x₁＜2a，0＜x₂＜2a且x₁＜x₂，∴0＜x₂-x₁＜2a，
即有f（x₂-x₁）＜0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，2a）上是增函數；
（3）①由題意可得：f(2a)=f[a-(-a)]=

f(a)f(-a)+1

f(-a)-f(a)

=

1-f 2(a )

-2f(a)

=

1-1

2

=0，
②∵f（2a-x）=

f(2a )f(x )+1

f(x )-f(2a)

=

1

f(x)

，f（2a+x）=

f(2a )f(-x )+1

f(-x )-f(2a)

=

1

f(-x)

=-

1

f(x)

∴f（2a-x）=-f（2a+x）
∴函數關于（2a，0）對稱
由（2）知f（x）在（0，2a）上是增函數；
∴f（x）在（2a，4a）上也是增函數，
∴f（x）在（0，4a）上是增函數；在（-4a，0）上也是增函數
當x-4∈（0，4a）時，f（x-4）＜0?f（x-4）＜f（2a）?x-4＜2a，
∴0＜x-4＜2a，即4＜x＜2a+4
當x-4∈（-4a，0）時，f（x-4）＜0?f（x-4）＜f（-2a）?x-4＜-2a，
∴-4a＜x-4＜-2a，即4-4a＜x＜4-2a
所以不等式的解集是（4-4a，4-2a）∪（4，2a+4）．

點評：本題綜合考查了抽象函數表達式的意義和應用，函數的奇偶性及其判斷，函數的單調性定義及其證明，利用函數的單調性和對稱性解不等式