Question

（08年福建卷理）（本小題滿(mǎn)分12分）

　　　如圖，在四棱錐中，則面PAD⊥底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中

，，O為中點(diǎn)。

（Ⅰ）求證：PO⊥平面；

（Ⅱ）求異面直線(xiàn)PB與CD所成角的大小；

（Ⅲ）線(xiàn)段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出　的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解析：

解法一：

　　（Ⅰ）證明：在△PAD中PA=PD，O為AD中點(diǎn)，所以PO⊥AD,

又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面平面ABCD=AD，平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD．

（Ⅱ）連結(jié)BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，，

有OD∥BC且OD=BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以OB∥DC．

由（Ⅰ）知，PO⊥OB，∠PBO為銳角，

所以∠PBO是異面直線(xiàn)PB與CD所成的角．

因?yàn)?IMG src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090323/20090323142608005.gif' width=144 height=19>，

在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，

所以OB＝，

在Rt△POA中，因?yàn)?I>AP＝，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，tan∠PBO＝

所以異面直線(xiàn)PB與CD所成的角是．

（Ⅲ）假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為．

　　　設(shè)，則，由（Ⅱ）得CD=OB=，

　　　在Rt△POC中，

所以PC=CD=DP,

由得，解得，

所以存在點(diǎn)Q滿(mǎn)足題意，此時(shí)．

解法二：

(Ⅰ)同解法一.

 

 (Ⅱ)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,依題意，易得，

    所以

    ．

所以異面直線(xiàn)與所成的角是．

 (Ⅲ)假設(shè)存在點(diǎn)，使得它到平面PCD的距離為，

由(Ⅱ)知

設(shè)平面的法向量為.

則所以    即，

取,得平面PCD的一個(gè)法向量為.

設(shè)由，得

解或(舍去)，此時(shí)，

所以存在點(diǎn)Q滿(mǎn)足題意，此時(shí).

【高考考點(diǎn)】本小題主要考查直線(xiàn)與平面位置關(guān)系、異面直線(xiàn)所成角、點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。

【易錯(cuò)提醒】第一問(wèn)就建立坐標(biāo)系的就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤.再者就是線(xiàn)與線(xiàn)所成角應(yīng)該在才可

【備考提示】因?yàn)榱�幾的難度一再降低,所以一定要求學(xué)生掌握坐標(biāo)法,勞記公式.