Question

某外商到一開放區投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經費12萬美元，以后每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元.
（1）若扣除投資及各種經費，則從第幾年開始獲取純利潤？
（2）若干年后，外商為開發新項目，有兩種處理方案: ①年平均利潤最大時以48萬美元出售該廠；②純利潤總和最大時，以16萬元出售該廠，問哪種方案最合算？

Answer 1

（1）從第三年開始獲利，（2）比較兩種方案，獲利都是144萬美元，但第①種方案只需6年，而第②種方案需10年，故選擇第①種方案.

 由題意知，每年的經費是以12為首項，4為公差的等差數列，設純利潤與年數的關系為f(n),則f(n)=50n–［12n+×4］–72=–2n²+40n–72
(1)獲純利潤就是要求f(n)>0,∴–2n²+40n–72>0，解得2<n<18. 由n∈N知從第三年開始獲利.
（2）①年平均利潤==40–2(n+)≤16.當且僅當n=6時取等號. 故此方案先獲利6×16+48=144（萬美元），此時n=6,②f(n)=–2(n–10)²+128.
當n=10時，f(n)|_max="128." 故第②種方案共獲利128+16=144（萬美元）.
故比較兩種方案，獲利都是144萬美元，但第①種方案只需6年，而第②種方案需10年，故選擇第①種方案.