Question

（文）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P（0，1），且與定直線y=-1相切．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)Q（0，-1）且以

a

=(-1，-k)為方向向量的直線l與軌跡M相交于A、B兩點(diǎn)．若∠APB為鈍角，求直線l斜率的取值范圍．

Answer 1

（1）∵動(dòng)圓過定點(diǎn)P（0，1），且與定直線y=-1相切
故圓心到點(diǎn)P（0，1）的距離等于半徑，
且圓心到直線y=-1的距離等于半徑，
即圓心到定點(diǎn)P（0，1），及定直線y=-1的距離相等
圓心軌跡M是以P（0，1）為焦點(diǎn)，直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
故它的方程是x²=4y------------------------------------------------5′
（2）直線l過點(diǎn)Q（0，-1），且以

a

=(-1，-k)為方向向量，所以直線方程為y=kx-1，
代入x²=4y得x²-4kx+4=0，
由△=16k²-4×1×4＞0得k＜-1，或k＞1①-------------------------------------7′
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=4
所以

PA

=(x1，y1-1)，

PB

=(x2，y2-1)，∵∠PDB為鈍角，∴

PA

•

PB

＜0
即x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=x₁x₂+（kx₁-2）（kx₂-2）=（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4＜0------------------------------------------------------------------10′
即4（1+k²）-2k×4k+4＜0，解得k＜-

2

，或k＞

2

②------------------------------12′
由①②得k＜-

2

，或k＞

2

-------------------------------------------------------------------------14′