Question

設m個不全相等的正數a₁，a₂，…，a_m（m≥7）依次圍成一個圓圈，
（Ⅰ）若m=2009，且a₁，a₂，…，a₁₀₀₅是公差為d的等差數列，而a₁，a₂₀₀₉，a₂₀₀₈，…，a₁₀₀₆是公比為q=d的等比數列；數列a₁，a₂，…，a_m的前n項和S_n（n≤m）滿足：S₃=15，S₂₀₀₉=S₂₀₀₇+12a₁，求通項a_n（n≤m）；
（Ⅱ）若每個數a_n（n≤m）是其左右相鄰兩數平方的等比中項，求證：
。

Answer 1

解：（Ⅰ）因是公比為d的等比數列，
從而，
由，
故解得d=3或d=-4（舍去），因此d=3，
又，
從而當n≤1005時，；
當1006≤n≤2009時，
由是公比為d的等比數列，
得，
因此；
（Ⅱ）由題意得
 ，
由①得，④
由①，②，③得，
故，⑤
又，
故有，⑥
下面反證法證明：m=6k，若不然，設m=6k+p，其中1≤p≤5，
若取p=1即m=6k+1，
則由⑥得，
而由③得，得，
由②得，
而，
由④及⑥可推得（1≤n≤m）與題設矛盾；
同理若P=2，3，4，5均可得（1≤n≤m）與題設矛盾，
因此m=6k為6的倍數，
由均值不等式得，
由上面三組數內必有一組不相等（否則，從而與題設矛盾），
故等號不成立，從而；
又m=6k，由④和⑥得

，
因此由⑤得
。