Question

（2012•長春模擬）已知函數f（x）=lgx和g（x）=10^x的圖象與圓x²+y²=20在第一象限內的部分相交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）兩個點，則y12+y22=

20

．

Answer 1

分析：由f（x）與g（x）互為反函數，得到兩函數圖象關于y=x對稱，進而得到M與N關于y=x對稱，利用關于y=x對稱點的坐標特點得到x₁=y₂，x₂=y₁，并根據N在圓上得到x₂²+y₂²=20，將y₁=x₂代入所求式子中，即可求出值．

解答：解：∵函數f（x）=lgx和函數g（x）=10^x互為反函數，
∴其圖象關于直線y=x對稱，
∴它們的圖象與圓x²+y²=20在第一象限內的交點M和N也關于直線y=x對稱，
∴這兩個點的坐標滿足x₁=y₂，x₂=y₁，
又N（x₂，y₂）在圓上，即x₂²+y₂²=20，
則y₁²+y₂²=x₂²+y₂²=20．
故答案為：20

點評：此題考查了反函數的性質，以及圓的標準方程，根據f（x）與g（x）化為反函數，得到兩函數圖象關于y=x對稱是解本題的關鍵．