Question

設函數f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax，當0＜a＜2時，有f（x）在x∈[1，4]上的最小值為-

16

3

，則f（x）在該區間上的最大小值是

10

3

．

Answer 1

分析：由f′（x）=-x²+x+2a=-（x-

1

2

）²+2a+

1

4

，當0＜a＜2時，f（x）在[1，4]上先增后減，由f（x）在x∈[1，4]上的最小值為-

16

3

，知f（x）在[1，4]上的最小值=min{f（1），f（4）}=min{2a-

1

6

，8a-

40

3

}=8a-

40

3

=-

16

3

，故a=1．由此能求出f（x）在該區間上的最大值．

解答：解：f′（x）=-x²+x+2a=-（x-

1

2

）²+2a+

1

4

，
當0＜a＜2時，f（x）在[1，4]上先增后減
∵f（x）在x∈[1，4]上的最小值為-

16

3

，
∴f（x）在[1，4]上的最小值=min{f（1），f（4）}
=min{2a-

1

6

，8a-

40

3

}=8a-

40

3

=-

16

3

，
∴a=1
∴f（x）在該區間上的最大值=f（2）=

10

3

．
故答案為：

10

3

．

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最值，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答．