Question

如圖是足球場的部分示意圖，假設球門的寬AB=7m，A到邊線的距離AC=30m．現距離邊線5m處的一名運動員P沿著邊線方向向底線運球，他觀察球門的角∠APB稱為視角．設P到底線的距離為PD=xm，tan∠APB記為y．
（1）試將y表示成x的函數；
（2）求當P離底線多少m時，該球員觀察球門的視角最大？（結果保留根式）

Answer 1

分析：（1）利用差角的正切公式，結合正切函數，即可求得函數解析式；
（2）利用基本不等式，再結合正切函數的單調性，即可得到結論．

解答：解：（1）由題意，AD=25m，BD=32m，∠APB=∠DPB-∠DPA
∴y=tan∠APB=tan（∠DPB-∠DPA）=

tan∠DPB-tan∠DPA

1+tan∠DPBtan∠DPA

=

32 x - 25 x

1+ 32 x • 25 x

∴y=

7x

x2+800

(x＞0)；
（2）y=

7

x+ 800 x

≤

7

2 800

=

7 2

80

，當且僅當x=20

2

m時，取等號
∴x=20

2

m時，y=tan∠APB取得最大值
∵∠APB∈(0，

π

2

)
∴x=20

2

m時，∠APB取得最大值．

點評：本題考查函數模型的確立，考查基本不等式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．