Question

已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，P是橢圓上一點，且面積的最大值等于2．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線y=2上是否存在點Q，使得從該點向橢圓所引的兩條切線相互垂直？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

(1)  ;(2)存在，.

試題分析：(1)通過橢圓性質(zhì)列出的方程，其中離心率,分析圖形知道當點P在短軸端點時，面積取得最大值，所以,橢圓中,從而建立關(guān)于的方程，解出;即得到橢圓的標準方程；(2)對于存在性的問題，要先假設(shè)存在，先設(shè)存在這樣的點，,結(jié)合圖形知道要先討論,當時，明顯切線不垂直，當時，先設(shè)切線，與橢圓方程聯(lián)立，利用，得出關(guān)于斜率的方程，利用兩根之積公式，解出點坐標.即值.此題為較難題型，分類討論時要全面.
試題解析：(1)因為點在橢圓上，所以
因此當時，面積最大，且最大值為
又離心率為即
由于，解得
所求橢圓方程為
(2)假設(shè)直線上存在點滿足題意，設(shè)，顯然當時，從點所引的兩條切線不垂直.
當時，設(shè)過點向橢圓所引的切線的斜率為，則的方程為
由消去，整理得：

所以，      *
設(shè)兩條切線的斜率分別為，顯然，是方程的兩根，故：
解得：，點坐標為或
因此，直線上存在兩點和滿足題意.