Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2.四邊形ABCD滿足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1.點E，F分別為側棱PB，PC上的點，且＝λ.

(1)求證：EF∥平面PAD.
(2)當λ＝時，求異面直線BF與CD所成角的余弦值；
(3)是否存在實數λ，使得平面AFD⊥平面PCD？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）見解析（2）（3）存在，λ＝

(1)證明:由已知＝λ，∴EF∥BC，又BC∥AD，∴EF∥AD，而EF?平面PAD，AD?平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
(2)解　因為平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC＝AC，且PA⊥AC，∴PA⊥平面ABCD.∴PA⊥AB，PA⊥AD.又∵AB⊥AD，
∴PA，AB，AD兩兩垂直．
如圖所示，建立空間直角坐標系

∵AB＝BC＝1，PA＝AD＝2，
∴A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，當λ＝時，F為PC中點，
∴F，∴＝，＝(－1,1,0)，設異面直線BF與CD所成的角為θ，∴cos θ＝|cos〈，〉|＝＝.故異面直線BF與CD所成角的余弦值為.
(3)解:設F(x₀，y₀，z₀)，則＝(x₀，y₀，z₀－2)，＝(1,1，－2)，又＝λ
∴∴＝(λ，λ，2－2λ)，
設平面AFD的一個法向量為m＝(x₁，y₁，z₁)，則
即
令z₁＝λ，得m＝(2λ－2,0，λ)．
設平面PCD的一個法向量為n＝(x₂，y₂，z₂)．則即
取y₂＝1，則x₂＝1，z₂＝1，∴n＝(1,1,1)，
由m⊥n，得m·n＝(2λ－2,0，λ)·(1,1,1)＝2λ－2＋λ＝0，解得λ＝.