Question

已知直線經過橢圓 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    的左頂點A和上頂點D，橢圓的右頂點為，點和橢圓上位于軸上方的動點，直線，與直線分別交于兩點。

   （I）求橢圓的方程；

   （Ⅱ）求線段MN的長度的最小值；

   （Ⅲ）當線段MN的長度最小時，在橢圓上是否存在這

樣的點，使得的面積為？若存在，確定點的個數，若不存在，說明理由

Answer 1

解析：

（I）由已知得，橢圓的左頂點為上頂點為

      故橢圓的方程為

（Ⅱ）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設直線的方程為，從而

由得0

設則得，從而 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

即又

由得

故

又   

當且僅當，即時等號成立w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

時，線段的長度取最小值

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當取最小值時，

     此時的方程為

     要使橢圓上存在點，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。

設直線

則由解得或