Question

(2006北京宣武模擬)已知分別是雙曲線的兩個焦點，O為坐標原點，圓O是以為直徑的圓，直線l∶y=kx＋b與圓O相切，并與雙曲線交于A、B兩點．

(1)根據條件求出b和k滿足的關系式；

(2)向量在向量方向的投影是p，當時，求直線l的方程；

(3)當，且滿足2≤m≤4時，求△AOB面積的取值范圍(其中p為(2)中所述)．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)雙曲線的兩上焦點分別是，，從而圓O的方程為．由于直線y=kx＋b與圓O相切，所以有． 即為所求． (2)設、，則由消去y并整理，得 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　(*) 其中． 根據韋達定理，得 ，． 從而 ． 又由(1)知， ∴． 又由于在方向上的投影為p， 所以． ∴． ∴． 即， ∴，∴，∴，此時方程(*)滿足Δ＞0． 所以直線l的方程為 或． (3)由(2)得， 即． ∴，． 根據弦長公式，得 ． ， 而2≤m≤4，此時方程(*)滿足Δ＞0． ， ， ∴△AOB面積的取值范圍是．