Question

下列五個命題：
①方程y=kx+2可表示經過點（0，2）的所有直線；
②經過點（x₀，y₀）且與直線l：Ax+By+C=0（A•B≠0）垂直的直線方程為：B（x-x₀）-A（y-y₀）=0；
③經過點（x₀，y₀）且與直線l：Ax+By+C=0（A•B≠0）平行的直線方程為：A（x-x₀）+B（y-y₀）=0；
④存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經過任何整點；
⑤存在無窮多直線只經過一個整點．
其中真命題是

②③④⑤

（把你認為正確的命題序號都填上）

Answer 1

分析：①利用斜率和傾斜角的關系判斷．②利用直線垂直的關系判斷．③利用直線平行的關系判斷．④舉一反例即可說明本命題是假命題．⑤直線過原點時滿足條件．

解答：解：①當直線和x軸垂直是，傾斜角為90°，但此時斜率k不存在，所以①錯誤．
②直線Ax+By+C=0的斜率為-

A

B

，所以和l垂直的直線斜率為

B

A

，所以過點（x₀，y₀）且與直線l：Ax+By+C=0（A•B≠0）垂直的直線方程為y-y0=

B

A

(x-x0)，即B（x-x₀）-A（y-y₀）=0，所以②正確．
③和直線l：Ax+By+C=0（A•B≠0）平行的直線方程可設為Ax+By+m=0，則Ax₀+By₀+m=0，即m=-Ax₀-By₀，
所以A（x-x₀）+B（y-y₀）=0，所以③正確．
④令y=x+

1

2

，既不與坐標軸平行又不經過任何整點，所以④正確．
⑤若直線過原點求系數不為整數時都可以，比如y=

2

x過原點，且只有一個整數點（0，0），所以⑤正確．
故答案為：②③④⑤．

點評：本題主要考查與直線有關的命題的真假判斷，要求熟練掌握直線的有關性質．