Question

如下圖，已知曲線C₁：y=x³(x≥0)與曲線C₂：y=-2x³+3x(x≥0)交于點O、A，直線x=t(0＜t＜1)與曲線C₁、C₂分別相交于點B、D.

（1）寫出四邊形ABOD的面積S與t的函數關系S=f(t);

（2）討論f(t)的單調性，并求f(t)的最大值.

Answer 1

解析：(1)解方程組得交點O、A的坐標分別為(0,0),(1,1).

f(t)=S_△ABD+S_△OBD

=|BD|·|1-0|=|BD|

=(-2t³+3t-t³)=(-3t³+3t),

即f(t)=-(t³-t)(0＜t＜1＝.

(2)f′(t)=-t²+.

令f′(t)=-t²+=0，

得t=,t=-（舍去）.

當0＜t＜時，f′(t)＞0,從而f(t)在區間（0，）上是增函數；

當＜t＜1時，f′(t)＜0，從而f(t)在區間（，1）上是減函數.

所以當t=時，f(t)有最大值f()=.