Question

某地區注重生態環境建設，每年用于改造生態環境總費用為x億元，其中用于風景區改造為y億元．該市決定制定生態環境改造投資方案，該方案要求同時具備下列三個條件：①每年用于風景區改造費用隨每年改造生態環境總費用增加而增加；②每年改造生態環境總費用至少a億元，至多b億元；③每年用于風景區改造費用不得低于每年改造生態環境總費用的15%，但不得高于每年改造生態環境總費用的25%．若a=1，b=4，請你分析能否采用函數模型y=

1

100

(x3+4x+16)作為生態環境改造投資方案．

Answer 1

分析：求導函數，可得函數的單調性，進而可求函數的最值，即可得到結論．

解答：解：∵y′=

1

100

(3x2+4)＞0，
∴函數y=

1

100

(x3+4x+16)是增函數，滿足條件①．
設g(x)=

y

x

=

1

100

(x2+4+

16

x

)，
則g′(x)=

1

100

(2x-

16

x2

)=

(x-2)(x2+2x+4)

50x2

，
令g'（x）=0，得x=2．
當x＜2時，g'（x）＜0，g（x）在（-∞，2）上是減函數；
當x＞2時，g'（x）＞0，g（x）在（2，+∞）上是增函數，
又a=1，b=4，即x∈[1，2]，g（x）在[1，2]上是減函數，在[1，4]上是增函數，
∴當x=2時，g（x）有最小值=16%＞15%，
當x=4時，g（x）=24%＜25%，x=1時，g（x）=25%≤25%．
∴能采用函數模型y=

1

100

(x3+4x+16)作為生態環境改造投資方案．

點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查導數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，正確求導是關鍵．