Question

等差數列{a_n}的前n項和為Sn，a1=2+

2

，S3=12+3

2

．
（1）求數列{a_n}的通項a_n與前n項和S_n；
（2）設bn=

Sn

n

-1(n∈N*)，求證：數列{b_n}中任意不同的三項都不可能成為等比數列．

Answer 1

分析：（1）設公差為d，由已知得

a1= 2 +2 3a1+3d=12+3 2

，求出d=2，從而利用等差數列的通項公式，等差數列的前n項和公式求得數列{a_n}的通項a_n與前n項和S_n ．
（2）由（1）得bn=

Sn

n

-1=n+

2

，假設數列{b_n}中存在三頂bp，

b

q

，br（p、q、r互不相等）成等比數列，可得p=r，這與p≠r矛盾，命題得證．

解答：解：（1）設公差為d，由已知得

a1= 2 +2 3a1+3d=12+3 2

，∴d=2，…（2分）
由此求得 an=2n+

2

，Sn=n(n+1+

2

)．…（5分）
（2）由（1）得bn=

Sn

n

-1=n+

2

．…（7分）
假設數列{b_n}中存在三頂bp，

b

q

，br（p、q、r互不相等）成等比數列，
則

b

2 q

=bpbr，即(q+

2

)2=(p+

2

)(r+

2

)，
∴(q2-pr)+(2q-p-r)

2

=0．…（10分）
∵p，q，r∈N*，∴

q2-pr=0 2p-p-r=0

，…（12分）
∴(

p+r

2

)2=pr，(p-r)2=0，∴p=r，…（15分）
這與p≠r矛盾．所以數列{b_n}中任意不同的三項都不可能成等比數列．…（16分）

點評：本題主要考查等比關系的確定，等差數列的通項公式，等差數列的前n項和公式的應用，用反證法證明數學命題，屬于中檔題．