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已知f(x)=(
3
+sinx)(
3
+cosx)+(
3
sinx+1)(
3
cosx+1)．求函數f（x）的最大值及取最大值時相應的x的值．
分析：先將原式化簡，再用換元法，轉化為二次函數求最值
解答：解：先將原式化簡，得f(x)=4sinxcosx+2
3
(sinx+cosx)+4…（2分）
令sinx+cosx=t(-
2
≤t≤
2
)，則有sinxcosx=
t2-1
2

進而y=f(x)=2t2+2
3
t+2=2(t+
3
2
)2+
1
2
(-
2
≤t≤
2
)…（6分）
根據二次函數圖象，當t=1時，f（x）有最大值4+2
3
，此時sinx+cosx=1，x=2kπ或2kπ+
π
2
(k∈z)…（12分）
點評：本題主要考查三角函數最值問題，解題的關鍵是化簡，及利用配方法求二次函數的最值．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
(3-a)x-1(x＜1)
logax(x≥1)
是R上的增函數，那么a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
3+x
1+x2
，0≤x≤3
f(3)，x＞3.

（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若關于x的方程f（x）-a=0恰有一個實數解，求實數a的取值范圍；
（3）已知數列{an}滿足：0＜an≤3，n∈N*，且a1+a2+a3+…a2009=
2009
3
，若不等式f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2009）≤x-ln（x-p）在x∈（p，+∞）時恒成立，求實數p的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2014•達州一模）已知f(x)=
(3-a)x-a
logax
(x＜1)
(x≥1)
是（-∞，+∞）上的增函數，則a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2007•溫州一模）已知f(x)=
3
+2sinxcosx-2
3
sin2x，
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）寫出函數f（x）的單調減區間．

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