Question

（本題16分）已知函數，其中e是自然數的底數，，

（1）當時，解不等式；

（2）若當時，不等式恒成立，求a的取值范圍；

（3）當時，試判斷：是否存在整數k，使得方程在

   上有解？若存在，請寫出所有可能的k的值；若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）存在唯一的整數。

【解析】

因為所以，取根的中間；

即不等式恒成立，分類討論：

且時，

數形結合：

如圖：

若，

，

若，如圖：

（1）方程在

   上有解，需判斷函數在上的單調性，數形結合。

（1） 即，由于，所以

所以解集為；

（2）當時，即不等式恒成立，

       ①若，則，該不等式滿足在時恒成立；

       ②由于，

       所以有兩個零點，

       若，則需滿足    即，此時無解；

       ③若，則需滿足，即，所以，

    綜上所述，a的取值范圍是。

（3）方程即為，設，

        由于和均為增函數，則也是增函數，

        又因為，，

        所以該函數的零點在區間上，又由于函數為增函數，所以該函數有且僅有

        一個零點，所以方程有且僅有一個根，且在內，所以存在唯

        一的整數。