Question

已知函數f（x）=log_a（x-3a） （a＞0且a≠1）的圖象為c₁，將c₁向左平移2a個單位得圖象c₂，函數g（x）的圖象c₃與c₂關于x軸對稱．
（1）寫出函數g（x）的解析式；
（2）當0＜a＜1時，解關于x的不等式2f（x）+g（x）＞1；
（3）若對x∈[a+2，a+3]總有|f（x）-g（x）|≤1，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析：本題考查的是函數的圖象與圖象變化問題．在解答時，
對（1）通過先平移再關于x軸對稱即可獲得問題的解答；
對（2）將函數f（x）和g（x）的解析式代入不等式化簡即可獲得有關x的對數不等式，注意真數大于零即可獲得問題的解答；
對（3）結合函數f（x）和g（x）的解析式先將抽象的恒成立問題轉化為二次不等式的恒成立問題，即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）由題意可知：圖象c₂對應的函數解析式為：y=log_a^（x-a），∴圖象c₃對應的函數解析式為：g（x）=-log_a（x-a）．
∴函數g（x）的解析式為g（x）=-log_a（x-a）．
（2）由題意：2f（x）+g（x）＞1?2loga(x-3a)＞1+loga(x-a)?

x-3a＞0 (x-3a)2＜a(x-a)

∴不等式的解集為：{x|3a＜x＜5a}．
（3）由|f（x）-g（x）|≤1在x∈[a+2，a+3]上恒成立
可得：（a+2）-3a＞0?0＜a＜1
|loga(x-3a)+loga(x-a)|≤1?a≤(x-3a)(x-a)≤

1

a

對x∈[a+2，a+3]恒成立．
令h（x）=（x-3a）（x-a）=x²-4ax+3a²，其對稱軸x=2a∉[a+2，a+3]，
故h（x）=x²-4ax+3a²在x∈[a+2，a+3]上單調遞增，
∴h（x）∈[h（a+2），h（a+3）]
∴h（x）∈[4（1-a），3（3-2a）]
∴

3(3-2a)≤ 1 a 4(1-a)≥a

，∴a∈(0，

9- 57

12

]
∴a的取值范圍是(0，

9- 57

12

]．

點評：本題考查的是函數的圖象與圖象變化問題．在解答的過程當中充分體現了變換的思想、恒成立的思想、數形結合的思想以及問題轉化的思想．值得同學們體會反思．