Question

已知直線l₁：x-y+C₁=0，C1=

2

，l₂：x-y+C₂=0，l₃：x-y+C₃=0，…，l_n：x-y+C_n=0（其中C₁＜C₂＜C₃＜…＜C_n），當n≥2時，直線l_n-1與l_n間的距離為n．
（1）求C_n；
（2）求直線l_n-1：x-y+C_n-1=0與直線l_n：x-y+C_n=0及x軸、y軸圍成圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）原點O到l₁的距離d₁=1，由點到直線的距離公式求出O到ln的距離：d_n =1+2+…+n，據Cn=

2

d_n，可求C_n 的值．
（2）由這組平行線的斜率等于1知，圍成的圖形是個等腰直角三角形，設直線l_n：x-y+C_n=0交x軸于點M，交y軸于點N，S_△OMN=

1

2

|OM|•|ON|=

1

2

（C_n）²，把C_n 的值代入，同理求直線l_n-1：x-y+C_n-1=0與x軸、y軸圍成圖形的面積，從而可求得結果．

解答：解：（1）由已知條件可得l₁：x-y+2=0，則原點O到l₁的距離d₁=1，
由平行直線間的距離可得原點O到l_n的距離d_n為：1+2+…+n=

n(n+1)

2

，
∵C_n=

2

d_n，∴C_n=

2 •n(n+1)

2

．     …（6分）
（2）設直線ln：x-y+Cn=0交x軸于點M，交y軸于點N，
則△OMN的面積S_△OMN=S_n=

1

2

|OM|•|ON|=

1

2

（C_n）²=

n2(n+1)2

4

，
同理直線l_n-1：x-y+C_n-1=0與x軸、y軸圍成圖形的面積Sn-1=

(n-1)2n2

4

，故所求面積為n³．…..（12分）

點評：本題考查平行線間的距離公式及點到直線的距離公式的應用，直線方程的應用，體現了轉化的數學思想．